This section describes the method of wavelet analysis, includes a discussion of different wavelet functions, and gives details for the analysis of the wavelet power spectrum. Results in this section are adapted to discrete notation from the continuous formulas given in Daubechies (1990). Practical details in applying wavelet analysis are taken from Farge (1992), Weng and Lau (1994), and Meyers et al. (1993). Each section is illustrated with examples using the Niño3 SST
FIG. 2. Four different wavelet bases, from Table 1. The plots on the left give the real part (solid) and imaginary part (dashed) for the wavelets in the time domain. The plots on the right give the corresponding wavelets in the frequency domain. For plotting purposes, the scale was chosen to be s = 10δt. (a) Morlet, (b) Paul (m = 4), (c) Mexican hat (DOG m = 2), and (d) DOG (m = 6).
a. Windowed Fourier transform
The WFT represents one analysis tool for extracting local-frequency information from a signal. The Fourier transform is performed on a sliding segment of length T from a time series of time step δt and total length Nδt, thus returning frequencies from T−1 to (2δt)−1 at each time step. The segments can be windowed with an arbitrary function such as a boxcar (no smoothing) or a Gaussian window (Kaiser 1994). As discussed by Kaiser (1994), the WFT represents an inaccurate and inefficient method of time–frequency localization, as it imposes a scale or “response interval” T into the analysis. The inaccuracy arises from the aliasing of high- and low-frequency components that do not fall within the frequency range of the window. The inefficiency comes from the T/(2δt) frequencies, which must be analyzed at each time step, regardless of the window size or the dominant frequencies present. In addition, several window lengths must usually be analyzed to determine the most appropriate choice. For analyses where a predetermined scaling may not be appropriate because of a wide range of dominant frequencies, a method of time–frequency localization that is scale independent, such as wavelet analysis, should be employed.
b. Wavelet transform
The wavelet transform can be used to analyze time series that contain nonstationary power at many different frequencies (Daubechies 1990). Assume that one has a time series, xn, with equal time spacing δt and n = 0 … N − 1. Also assume that one has a wavelet function, ψ0(η), that depends on a nondimensional “time” parameter η. To be “admissible” as a wavelet, this function must have zero mean and be localized in both time and frequency space (Farge 1992). An example is the Morlet wavelet, consisting of a plane wave modulated by a Gaussian:
where ω0 is the nondimensional frequency, here taken to be 6 to satisfy the admissibility condition (Farge 1992). This wavelet is shown in Fig. 2a. The term “wavelet function” is used generically to refer to either orthogonal or nonorthogonal wavelets. The term “wavelet basis” refers only to an orthogonal set of functions. The use of an orthogonal basis implies the use of the discrete wavelet transform, while a nonorthogonal wavelet function can be used with either the discrete or the continuous wavelet transform (Farge 1992). In this paper, only the continuous transform is used, although all of the results for significance testing, smoothing in time and scale, and cross wavelets are applicable to the discrete wavelet transform. The continuous wavelet transform of a discrete sequence xn is defined as the convolution of xn with a scaled and translated version of ψ0(η):
where the (*) indicates the complex conjugate. By varying the wavelet scale s and translating along the localized time index n, one can construct a picture showing both the amplitude of any features versus the scale and how this amplitude varies with time. The subscript 0 on ψ has been dropped to indicate that this ψ has also been normalized (see next section). Although it is possible to calculate the wavelet transform using (2), it is considerably faster to do the calculations in Fourier space. To approximate the continuous wavelet transform, the convolution (2) should be done N times for each scale, where N is the number of points in the time series (Kaiser 1994). (The choice of doing all N convolutions is arbitrary, and one could choose a smaller number, say by skipping every other point in n.) By choosing N points, the convolution theorem allows us do all N convolutions simultaneously in Fourier space using a discrete Fourier transform (DFT). The DFT of xn is
where k = 0 … N − 1 is the frequency index. In the continuous limit, the Fourier transform of a function ψ(t/s) is given by ψ$ (sω). By the convolution theorem, the wavelet transform is the inverse Fourier transform of the product:
where the angular frequency is defined as :
Using (4) and a standard Fourier transform routine, one can calculate the continuous wavelet transform (for a given s) at all n simultaneously and efficiently.
Tittle : A Practical Guide To Wavelet Analysis
Author : Christopher Torrence and Gilbert P. Compo
Kesimpulan :
Dari artikel yang berada pada diatas Transformasi wavelet sebagai fungsi matematis untuk merepresentasikan data atau fungsi sebagai alternatif transformasi-transformasi matematika yang lahir sebelumnya untuk menangani masalah resolusi. Sebuah wavelet merupakan gelombang singkat (small wave) yang energinya terkonsentrasi pada suatu selang waktu untuk memberikan kemampuan analisis transien, ketidakstasioneran, atau fenomena berubah terhadap waktu (time varying). Karakteristik dari wavelet antara lain adalah berosilasi singkat, translasi (pergeseran), dan dilatasi (skala). Berikut ini akan diperlihatkan gambar dari sebuah sinyal sinus dan sinyal wavelet. Nilai skala kecil (compressed wavelet) menyebabkan perubahan koefisien yang menyatakan frekuensi tinggi. Nilai skala besar (stretched wavelet) menyebabkan perubahan koefisien yang menyatakan frekuensi rendah. Tahap pertama analisis wavelet adalah menentukan tipe wavelet atau mother wavelet yang akan digunakan. Hal ini perlu dilakukan karena fungsi wavelet sangat bervariasi. Beberapa contoh mother wavelet adalah Haar, Daubechies, Biortoghonal, Coiflets, Symlets, Morlet, Mexican Hat, dan Meyer. Setelah pemilihan mother wavelet, tahap selanjutnya adalah membentuk basis wavelet yang akan digunakan untuk mentransformasikan sinyal. Transformasi wavelet memiliki kemampuan untuk menganalisis suatu data dalam domain waktu dan domain frekuensi secara simultan. Analisis data pada transformasi wavelet dilakukan dengan mendekomposisikan suatu sinyal ke dalam komponen komponen frekuensi yang berbeda-beda dan selanjutnya masing-masing komponen frekuensi tersebut dapat dianalisis sesuai dengan skala resolusinya atau level dekomposisinya. Hal ini seperti proses filtering, dimana sinyal dalam domain waktu dilewatkan ke dalam High Pass Filter dan Low Pass Filter untuk memisahkan komponen frekuensi tinggi dan frekuensi rendah. Wavelet merupakan sebuah fungsi variable real t, diberi notasi ψt dalam ruang fungsi L2(R). Fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan translasi, yang dinyatakan dalam persamaan :
Pada dasarnya, transformasi wavelet dapat dibedakan menjadi dua tipe berdasarkan nilai parameter translasi dan dilatasinya, yaitu Continue Wavelet Transform (CWT) dan Discrete Wavelet Transform (DWT). Transformasi wavelet kontinu ditentukan oleh nilai parameter dilatasi (a) dan translasi (b) yang bervariasi secara kontinu, dimana a,b Є R dan a ≠ 0. Continue Wavelet Transform (CWT) menganalisis sinyal dengan perubahan skala pada window yang dianalisis, pergeseran window dalam waktu dan perkalian sinyal serta mengintegral semuanya sepanjang waktu.Fungsi wavelet diperoleh dari penggeseran (translasi) dan pengubahan skala, yang dinyatakan dengan dua parameter translasi dan parameter skala. Ekspansi fungsi dalam transformasi wavelet tersebut tergantung pada sepasang parameter yang membuat persamaan menjadi :
di mana indeks integer j dan k masing-masing berkaitan dengan parameter skala dan translasi. y j,k(t) adalah fungsi ekspansi wavelet yang merupakan suatu basis ortogonal. Wavelet terdiri atas banyak jenis, salah satunya dikembangkan oleh Daubechies, mereka mempunyai sifat yang sama yaitu; Semua yang disebut sistem wavelet generasi pertama dibangkitkan dari suatu fungsi skala (scaling function) tunggal atau wavelet dengan skala dan translasi sederhana. Energi sinyal terekspansi secara baik oleh beberapa koefisien aj,k. Perhitungan koefisien transformasi wavelet yang dilaksanakan lebih efisien dibanding FFT, yang dinyatakan dengan kompleksitas komputasi antara O(N) dan O(Nlog(N)). Semua sistem wavelet dibangkitkan dari fungsi skala atau wavelet tunggal dengan translasi sederhana. Secara umum wavelet dibangkitkan dari suatu fungsi (pembangkit wavelet atau ibu wavelet) y (t) melalui di mana m ¹ 0 sebagai parameter dilasi dan adalah parameter translasi. Fungsi yang paling populer digunakan saat ini adalah dengan harga pada tetapan ao = 2 dan bo = 1;
Pemanfaatan wavelet Seperti telah dikemukakan pada pendahuluan Transformasi Wavelet dapatdigunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai macam lapangan ilmu. Dalam pengolahan sinyal transformasi ini dapat dikombinasikan dengan FFT dan mempercepat perhitungan tersebut sehingga mengurangi kekomplekan komputasi (computation complexity) menjadi O(N). Diantara banyak pemanfaatan Transformasi Wavelet ada tiga macam yang akan dikemukakan berkaitan dengan pengolahan sinyal dan citra penginderaan jauh, yaitu; pengurangan noise (denoising), dan kompresi.
Jadi dapat disimpulkan bahwa Dengan menggunakan transformasi wavelet dapat dilakukan penghilangan derau (noise), frekuensi yang tidak dikehendaki. Lalu kuran komponen citra semakin tinggi tingkat transformasinya semakin mengecil sehingga kalau direkonstruksi ukuran hasilnya pun sama. Namun dalam percobaan yang dilakukan, belum dapat menunjukkan filter hasil transformasi wavelet yang paling baik. masih akan dicoba dengan fungsi wavelet yang lain.